En esta asignatura se imparten los temas clásicos del algebra lineal: Matrices, análisis de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos i espacios vectoriales con producto escalar definido. Se intenta que el alumno no solo adquiera los conceptos teóricos de manera adecuada, sino que también los asocie en situaciones y problemas reales. Durante el curso se plantean diferentes aplicaciones de los conceptos estudiados y se analiza como estos conceptos bien aplicados solucionan determinadas situaciones.
Profesores Titulares
Cálculo matricial básico.
La asignatura tiene como objetivo proporcionar al estudiante una base sólida en los fundamentos del álgebra lineal, desarrollando la capacidad de comprender y utilizar estructuras matemáticas aplicadas a la resolución de problemas de ingeniería. Asimismo, pretende fomentar el razonamiento lógico y abstracto, la modelización matemática y la aplicación de métodos algebraicos al análisis de sistemas, contribuyendo al desarrollo de competencias analíticas necesarias en materias científicas y tecnológicas posteriores.
1. Determinantes y matrices. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. 3. Espacios vectoriales. 4. Aplicaciones lineales. 5. Diagonalización de endomorfismos. 6. Espacios vectoriales euclídeos y unitarios.
1. Determinantes y matrices
1.1. Concepto de determinante y propiedades.
1.2. Cálculo de determinantes.
1.3. Rango de una matriz.
1.4. Inversa de una matriz.
2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Estudio de sistemas.
2.2. Métodos de resolución: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan, Inversa.
2.3. Resolución conjunta de sistemas similares.
3. Espacios vectoriales
3.1. Estructuras algebraicas básicas y definición de espacio vectorial. Propiedades.
3.2. Dependencia e independencia lineal de vectores.
3.3. Subespacio vectorial.
3.4. Base y dimensión de un espacio vectorial.
3.5. Componentes de un vector referidas a una base.
3.6. Cambio de base.
4. Aplicaciones lineales
4.1. Concepto, definición y propiedades de una aplicación lineal.
4.2. Subespacio núcleo.
4.3. Subespacio imagen.
4.4. Proposiciones y otras definiciones.
4.5. Matriz de una aplicación lineal y matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales.
5. Diagonalización de endomorfismos
5.1. Introducción.
5.2. Subespacio invariante.
5.3. Vector y valor propio.
5.4. Polinomio característico.
5.5. Condiciones de diagonabilidad.
5.6. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicación a la inversión de matrices.
5.7. Aplicaciones: cálculo de potencias, polinomios y raíces cuadradas de matrices.
5.8. Introducción a la descomposición en valores singulares (SVD).
6. Espacios vectoriales euclídeos y unitarios.
6.1. Producto escalar. Espacio euclidiano y espacio unitario.
6.2. Norma.
6.3. Ángulo entre vectores.
6.4. Ortogonalidad y subespacios ortogonales.
6.5. Proyección ortogonal. Aproximación con mínimo error.
6.6. Proyección ortogonal sobre subespacios de dimensión superior a 1.
6.7. Ortogonalización de Gram-Schmidt.
La asignatura tiene un funcionamiento semanal con sesiones lectivas. A lo largo del curso se irán combinando diferentes tipos de sesiones, que incluirán tanto clases magistrales como sesiones centradas en el autoaprendizaje y la resolución de dudas: 1. Durante las sesiones de clase se desarrollarán ejemplos para adquirir los conocimientos explicados. 2. El alumnado deberá resolver, de forma individual o en grupos, un ejercicio propuesto en el aula, con el objetivo de determinar la asimilación de los conceptos adquiridos en clase o por su cuenta con material proporcionado por la asignatura. Metodologías aplicadas: Flipped classroom (MD7), Peer instruction (MD09) y clases de problemas y ejercicios (MD1). 3. El profesorado explica durante la sesión la resolución del problema propuesto, así como las dudas que hayan surgido. Metodologías aplicadas: Clase magistral (MD0). 4. El profesorado propone unos ejercicios a resolver de forma individual, que sirven para confirmar que se han entendido los conceptos tratados en la sesión. Estos ejercicios deberán entregarse al final de la unidad didáctica (a través de la carpeta correspondiente en eStudy) y contarán para la evaluación continua.
La nota final de la asignatura en la convocatoria ordinaria (Nota_Final) se calcula combinando la nota de exámenes (N_Ex), que representa el 70% de la calificación, y la nota de evaluación continua (N_AC), que supone el 30%, siempre que N_Ex sea igual o superior a 4. La nota de exámenes (N_Ex) corresponde al promedio de dos partes —la prueba de noviembre y la prueba de enero—, siendo necesario obtener al menos un 4 en cada una de ellas; si alguna parte es inferior a 4, la nota de exámenes será la más baja de las dos. La evaluación continua (N_AC) se obtiene ponderando diversos elementos: prácticas (40%), ejercicios realizados en casa (20%), pruebas o controles en clase o en eStudy (20%) y la asistencia, actitud y participación (20%). En la convocatoria extraordinaria de julio, el estudiante deberá realizar un examen global de todo el temario, sin conservarse las notas parciales obtenidas durante el semestre.
Se valorará si el estudiante:
- Identifica correctamente el tipo de sistema y discute su compatibilidad.
- Selecciona y aplica métodos adecuados de resolución (Gauss, Gauss–Jordan, Cramer, inversa) justificando cada paso.
- Interpreta con claridad y fundamento matemático el significado de las soluciones obtenidas.
- Maneja correctamente las propiedades de espacios vectoriales y subespacios, aplicándolas de forma coherente.
- Trabaja con bases, dimensiones y cambios de base con precisión y comprensión conceptual.
- Realiza y comprende combinaciones lineales y el principio de superposición en contextos algebraicos y geométricos.
- Determina condiciones de dependencia o independencia lineal utilizando procedimientos válidos (rangos, combinaciones, matrices asociadas).
- Explica las implicaciones algebraicas y geométricas de estos conceptos en los problemas trabajados.
- Interpreta el comportamiento de una aplicación lineal y caracteriza correctamente su núcleo e imagen.
- Construye y utiliza la matriz asociada a una transformación lineal para resolver problemas.
- Aplica propiedades de las aplicaciones lineales para justificar resultados y argumentar soluciones.
Apuntes y ejercicios de álgebra lineal asociados a la asignatura (disponibles en eStudy)
- Linear Algebra and its Applications; David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. Mcdonald; Fifth Edition Pearson 2016 - Elementary Linear Algebra; Howard Anton, Chris Rorres; 11th Edition; Wiley 2014 - Álgebra lineal; Stanley l. Grossman, José Job Flores Godoy; Séptima edición; McGrawHill 2012 - Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias, Juan Carlos Del Valle Sotelo, McGraw-Hill, 2012 - Howard Anton, Introducción al álgebra lineal, Ed. Limusa 1997 - Castellet, M. i Llerena, I., Àlgebra lineal i geomètrica, Universitat Autònoma de Barcelona, 1990 - Queysanne, M., Álgebra básica, Vicens Vives, 1990 - Rojo, A., Álgebra lineal, AC 1991 - Puerta, F., Álgebra Lineal, Marcombo, 1991 - Luzarraga, F., Problemas resueltos de Álgebra Lineal, 1970