L’assignatura d’Àlgebra proporciona els fonaments de l’àlgebra lineal necessaris per a la formació bàsica en enginyeria, introduint conceptes i eines matemàtiques orientades a l’anàlisi i modelització de problemes científics i tecnològics. A través de l’estudi de matrius, sistemes lineals, espais vectorials i transformacions lineals, l’assignatura desenvolupa el raonament abstracte i la capacitat analítica de l’estudiant, constituint una base transversal per a matèries posteriors de l’àmbit matemàtic, físic i tecnològic dins del pla d’estudis.
Professors Titulars
Professors Docents
Es recomana càlcul matricial bàsic.
L’assignatura té com a objectiu proporcionar a l’estudiant una base sòlida en els fonaments de l’àlgebra lineal, desenvolupant la capacitat de comprendre i utilitzar estructures matemàtiques aplicades a la resolució de problemes d’enginyeria. Així mateix, pretén fomentar el raonament lògic i abstracte, la modelització matemàtica i l’aplicació de mètodes algebraics a l’anàlisi de sistemes, contribuint al desenvolupament de competències analítiques necessàries en matèries científiques i tecnològiques posteriors.
- Determinants i matrius
- Concepte de determinant i propietats.
- Càlcul de determinants.
- Rang d'una matriu.
- Inversa d'una matriu.
- Sistemes d'equacions lineals
- Estudi de sistemes.
- Mètodes de resolució: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan, Inversa.
- Resolució conjunta de sistemes similars.
- Espais vectorials
- Estructures algebraiques bàsiques i definició d'espai vectorial. Propietats.
- Dependència i independència lineal de vectors.
- Subespai vectorial.
- Base i dimensió d'un espai vectorial.
- Components d'un vector referides a una base.
- Canvi de base.
- Aplicacions lineals
- Concepte, definició i propietats d'una aplicació lineal.
- Subespai nucli.
- Subespai imatge.
- Proposicions i altres definicions.
- Matriu d'una aplicació lineal i matriu associada a la composició d'aplicacions lineals.
- Diagonalització d'endomorfismes
- Introducció.
- Subespai invariant.
- Vector i valor propi.
- Polinomi característic.
- Condicions de diagonabilitat.
- Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicació a la inversió de matrius.
- Aplicacions: càlcul de potències, polinomis i arrels quadrades de matrius.
- Introducció a la descomposició en valors singulars (SVD).
- Espais vectorials euclidians i unitaris.
- Producte escalar. Espai euclidià i espai unitari.
- Norma.
- Angle entre vectors.
- Ortogonalitat i subespais ortogonals.
- Projecció ortogonal. Aproximació amb mínim error.
- Projecció ortogonal sobre subespais de dimensió superior a 1.
- Ortogonalització de Gram-Schmidt.
La metodologia docent es fonamenta en un enfocament actiu i teoricopràctic orientat a l’adquisició progressiva dels resultats d’aprenentatge definits per a l’assignatura. La matèria es desenvolupa mitjançant un funcionament setmanal de tres sessions lectives, en les quals es combinen activitats d’introducció conceptual, aplicació pràctica i consolidació de l’aprenentatge.
La dinàmica habitual de les sessions (excepte en aquelles específicament pràctiques) s’estructura en tres fases diferenciades. En el primer terç de la classe, els estudiants, organitzats en grups de tres, resolen un exercici proposat que requereix l’aplicació dels conceptes prèviament treballats de manera autònoma a partir del material proporcionat per l’assignatura. Aquesta fase afavoreix la preparació prèvia, l’aprenentatge autònom i el treball col·laboratiu.
En el segon terç, el professor realitza una posada en comú amb el conjunt del grup, abordant els dubtes sorgits durant el treball en equip i resolent l’exercici a la pissarra o mitjançant eines digitals, segons la seva naturalesa. Aquesta fase consolida els fonaments teòrics i garanteix la correcta comprensió dels procediments algebraics.
En l’últim terç de la sessió, els estudiants resolen un nou exercici, novament en grups de tres, amb l’objectiu de verificar l’assimilació dels conceptes treballats. En determinades sessions, aquesta activitat es realitza de manera individual i s’entrega al professor com a part del sistema d’avaluació contínua.
La metodologia integra, per tant, treball autònom previ, aprenentatge col·laboratiu a l’aula i avaluació formativa contínua, assegurant la coherència entre activitats formatives, sistema d’avaluació, criteris d’avaluació i càrrega de treball corresponent als crèdits ECTS assignats.
Amb la finalitat d´avaluar si l´alumne ha assolit en un grau adequat els objectius perseguits a l´assignatura es fan servir diferents proves i dades per obtenir informació de l´alumne.
L'avaluació de l'assignatura es realitza mitjançant un sistema d'avaluació continua complementat amb exàmens individuals realitzats al mig i al final de cada semestre.
Aquests exàmens suposen el 70% de la nota de cada semestre, mentre que el 30% restant correspon a l'avaluació continua realitzada.
La nota mínima dels exàmens ha de ser un 3,5. En cas de no assolir aquest mínim no es realitza la ponderació amb la nota d'avaluació continua.
Es valorarà:
· La correcta aplicació dels mètodes algebraics en la resolució de problemes.
· El rigor i la coherència en el desenvolupament dels raonaments matemàtics.
· La comprensió conceptual dels fonaments de l’àlgebra lineal.
· La capacitat de modelització matemàtica de situacions tècniques bàsiques.
· La precisió en els càlculs i la correcta interpretació dels resultats obtinguts.
· La claredat i estructura en la presentació dels procediments i solucions.
Apunts i exercicis d’àlgebra lineal associats a l’assignatura (disponibles en eStudy)
Altres llibres que es poden consultar:
· “Linear Algebra and its Applications” ; David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. Mcdonald; Fifth Edition Pearson 2016
· “Elementary Linear Algebra”; Howard Anton, Chris Rorres; 11th Edition; Wiley 2014
· “Álgebra lineal”; Stanley l. Grossman, José Job Flores Godoy; Séptima edición; McGrawHill 2012
· “Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciències”, Juan Carlos Del Valle Sotelo, McGraw-Hill, 2012
· Howard Anton, “Introducción al álgebra lineal”, Ed. Limusa 1997
· Castellet, M. i Llerena, I., “Àlgebra lineal i geomètrica”, Universitat Autònoma de Barcelona, 1990
· Queysanne, M., “Álgebra bàsica”, Vicens Vives, 1990
· Rojo, A., “Álgebra lineal”, AC 1991
· Puerta, F., “Álgebra Lineal”, Marcombo, 1991.
· Luzarraga, F., “Problemas resueltos de Álgebra Lineal”, 1970
· Lipschutz, S., “Álgebra lineal”, McGraw-Hill, 1991