En aquesta assignatura s'imparteixen els temes clàssics de l'àlgebra lineal: Matrius, anàlisi de sistemes d'equacions lineals, espais vectorials, aplicacions lineals, endomorfismes, i espais vectorials amb producte escalar definit. S'intenta, però, que l'alumne no només assimili els conceptes teòrics adequadament, sinó que també els associï amb situacions i problemes reals. En aquest sentit, durant el curs es plantegen diferents aplicacions dels conceptes estudiats i s'analitza com aquests conceptes ben aplicats solucionen determinades situacions.
Professors Titulars
Càlcul matricial bàsic.
L'assignatura té com a objectiu proporcionar a l'estudiant una base sòlida en els fonaments de l'àlgebra lineal, desenvolupant la capacitat de comprendre i utilitzar estructures matemàtiques aplicades a la resolució de problemes d'enginyeria. Així mateix, pretén fomentar el raonament lògic i abstracte, la modelització matemàtica i l'aplicació de mètodes algebraics a l'anàlisi de sistemes, contribuint al desenvolupament de competències analítiques necessàries en matèries científiques i tecnològiques posteriors.
1. Determinants i matrius
1.1. Concepte de determinant i propietats.
1.2. Càlcul de determinants.
1.3. Rang d'una matriu.
1.4. Inversa d'una matriu.
2. Sistemes d'equacions lineals
2.1. Estudi de sistemes.
2.2. Mètodes de resolució: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan, Inversa.
2.3. Resolució conjunta de sistemes similars.
3. Espais vectorials
3.1. Estructures algebraiques bàsiques i definició d'espai vectorial. Propietats.
3.2. Dependència i independència lineal de vectors.
3.3. Subespai vectorial.
3.4. Base i dimensió d'un espai vectorial.
3.5. Components d'un vector referides a una base.
3.6. Canvi de base.
4. Aplicacions lineals
4.1. Concepte, definició i propietats d'una aplicació lineal.
4.2. Subespai nucli (Kernel).
4.3. Subespai imatge.
4.4. Proposicions i altres definicions.
4.5. Matriu d'una aplicació lineal i matriu associada a la composició d'aplicacions lineals.
5. Diagonalització d'endomorfismes
5.1. Introducció.
5.2. Subespai invariant.
5.3. Vector i valor propi (Vaps i Veps).
5.4. Polinomi característic.
5.5. Condicions de diagonalitzabilitat.
5.6. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicació a la inversió de matrius.
5.7. Aplicacions: càlcul de potències, polinomis i arrels quadrades de matrius.
5.8. Introducció a la descomposició en valors singulars (SVD).
6. Espais vectorials euclidians i unitaris
6.1. Producte escalar. Espai euclidià i espai unitari.
6.2. Norma.
6.3. Angle entre vectors.
6.4. Ortogonalitat i subespais ortogonals.
6.5. Projecció ortogonal. Aproximació amb mínim error.
6.6. Projecció ortogonal sobre subespais de dimensió superior a 1.
6.7. Ortogonalització de Gram-Schmidt.
L´assignatura té un funcionament setmanal amb sessions lectives. Al llarg del curs s'aniran combinant diferents tipus de sessions, les quals inclouran tant classes magistrals com classes focalitzades en l'auto-aprenentatge i resolució de dubtes: 1. Durant les sessions de classe es desenvoluparan exemples per adquirir els coneixements explicats. 2. Els alumnes hauran de resoldre, individualment o en grups, un exercici proposat a l'aula, on es determina l'assimilació dels conceptes adquirits a classe o pel seu compte amb material subministrat per l'assignatura) Metodologies aplicades: Flipped classroom (MD7), Peer instruction (MD09) i classes de problemes i exercicis (MD1). 3. El professorat explica durant la sessió la resolució del problema proposat, així com els dubtes que han anat sorgint. Metodologies aplicades: Classe magistral (MD0) 4. El professorat proposa uns exercicis a resoldre per l'alumnat de manera individual que serveix per confirmar que s'han entès els conceptes tractats a la sessió. Aquests exercicis s'hauran de lliurar al final de la unitat didàctica (mitjançant la corresponent carpeta a l?eStudy) i seran nota per a l'avaluació contínua.
La nota final de l'assignatura en la convocatòria ordinària (Nota_Final) es calcula combinant la nota d'exàmens (N_Ex), que representa el 70% de la qualificació, i la nota d'avaluació contínua (N_AC), que suposa el 30%, sempre que la N_Ex sigui igual o superior a 4.
La nota d'exàmens (N_Ex) correspon a la mitjana de dues parts —la prova de novembre i la prova de gener—, sent necessari obtenir almenys un 4 en cadascuna d'elles; si alguna part és inferior a 4, la nota d'exàmens serà la més baixa de les dues.
L'avaluació contínua (N_AC) s'obté ponderant diversos elements: Pràctiques: 40%, Exercicis realitzats a casa: 20%, Proves o controls a classe o a eStudy: 20%, Assistència, actitud i participació: 20%
En la convocatòria extraordinària de juliol, l'estudiant haurà de realitzar un examen global de tot el temari, sense conservar-se les notes parcials obtingudes durant el semestre.
Es valorarà si l'estudiant:
· Identifica correctament el tipus de sistema i en discuteix la compatibilitat.
· Selecciona i aplica mètodes adequats de resolució (Gauss, Gauss–Jordan, Cramer, inversa) justificant cada pas.
· Interpreta amb claredat i fonament matemàtic el significat de les solucions obtingudes.
· Gestiona correctament les propietats d'espais vectorials i subespais, aplicant-les de forma coherent.
· Treballa amb bases, dimensions i canvis de base amb precisió i comprensió conceptual.
· Realitza i comprèn combinacions lineals i el principi de superposició en contextos algebraics i geomètrics.
· Determina condicions de dependència o independència lineal utilitzant procediments vàlids (rangs, combinacions, matrius associades).
· Explica les implicacions algebraiques i geomètriques d'aquests conceptes en els problemes treballats.
· Interpreta el comportament d'una aplicació lineal i en caracteritza correctament el nucli i la imatge.
· Construeix i utilitza la matriu associada a una transformació lineal per resoldre problemes.
· Aplica propietats de les aplicacions lineals per justificar resultats i argumentar solucions.
- Apunts i exercicis d'àlgebra lineal associats a l'assignatura (disponibles en eStudy)
- Linear Algebra and its Applications? ; David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. Mcdonald; Fifth Edition Pearson - 2016 - Elementary Linear Algebra; Howard Anton, Chris Rorres; 11th Edition; Wiley 2014 - Álgebra lineal; Stanley l. Grossman, José Job Flores Godoy; Séptima edición; McGrawHill 2012 - Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias, Juan Carlos Del Valle Sotelo, McGraw-Hill, 2012 - Howard Anton, Introducción al álgebra lineal, Ed. Limusa 1997 - Castellet, M. i Llerena, I., Àlgebra lineal i geomètrica, Universitat Autònoma de Barcelona, 1990 - Queysanne, M., Álgebra básica, Vicens Vives, 1990 - Rojo, A., Álgebra lineal, AC 1991 - Puerta, F., Álgebra Lineal, Marcombo, 1991. - Luzarraga, F., Problemas resueltos de Álgebra Lineal, 1970 - Lipschutz, S., Álgebra lineal, McGraw-Hill, 1991 (1)