La asignatura de Álgebra proporciona los fundamentos del álgebra lineal necesarios para la formación básica en ingeniería, introduciendo conceptos y herramientas matemáticas orientadas al análisis y modelización de problemas científicos y tecnológicos. A través del estudio de matrices, sistemas lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales, la asignatura desarrolla el razonamiento abstracto y la capacidad analítica del estudiante, constituyendo una base transversal para materias posteriores del ámbito matemático, físico y tecnológico dentro del plan de estudios.
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Se recomienda cálculo matricial básico.
La asignatura tiene como objetivo proporcionar al estudiante una base sólida en los fundamentos del álgebra lineal, desarrollando la capacidad de comprender y utilizar estructuras matemáticas aplicadas a la resolución de problemas de ingeniería. Asimismo, pretende fomentar el razonamiento lógico y abstracto, la modelización matemática y la aplicación de métodos algebraicos al análisis de sistemas, contribuyendo al desarrollo de competencias analíticas necesarias en materias científicas y tecnológicas posteriores.
1. Determinantes y matrices
1.1. Concepto de determinante y propiedades.
1.2. Cálculo de determinantes.
1.3. Rango de una matriz.
1.4. Inversa de una matriz.
2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Estudio de sistemas.
2.2. Métodos de resolución: Cramer, Gauss, Gauss-Jordan, Inversa.
2.3. Resolución conjunta de sistemas similares.
3. Espacios vectoriales
3.1. Estructuras algebraicas básicas y definición de espacio vectorial. Propiedades.
3.2. Dependencia e independencia lineal de vectores.
3.3. Subespacio vectorial.
3.4. Base y dimensión de un espacio vectorial.
3.5. Componentes de un vector referidas a una base.
3.6. Cambio de base.
4. Aplicaciones lineales
4.1. Concepto, definición y propiedades de una aplicación lineal.
4.2. Subespacio núcleo.
4.3. Subespacio imagen.
4.4. Proposiciones y otras definiciones.
4.5. Matriz de una aplicación lineal y matriz asociada a la composición de aplicaciones lineales.
5. Diagonalización de endomorfismos
5.1. Introducción.
5.2. Subespacio invariante.
5.3. Vector y valor propio.
5.4. Polinomio característico.
5.5. Condiciones de diagonalabilidad.
5.6. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicación a la inversión de matrices.
5.7. Aplicaciones: cálculo de potencias, polinomios y raíces cuadradas de matrices.
5.8. Introducción a la descomposición en valores singulares (SVD).
6. Espacios vectoriales euclidianos y unitarios
6.1. Producto escalar. Espacio euclidiano y espacio unitario.
6.2. Norma.
6.3. Ángulo entre vectores.
6.4. Ortogonalidad y subespacios ortogonales.
6.5. Proyección ortogonal. Aproximación con mínimo error.
6.6. Proyección ortogonal sobre subespacios de dimensión superior a 1.
6.7. Ortogonalización de Gram-Schmidt.
La metodología docente se fundamenta en un enfoque activo y teórico-práctico orientado a la adquisición progresiva de los resultados de aprendizaje definidos para la asignatura.
La materia se desarrolla mediante un funcionamiento semanal de tres sesiones lectivas, en las cuales se combinan actividades de introducción conceptual, aplicación práctica y consolidación del aprendizaje.
La dinámica habitual de las sesiones (excepto aquellas específicamente prácticas) se estructura en tres fases diferenciadas:
1. Primer tercio de la clase
Los estudiantes, organizados en grupos de tres, resuelven un ejercicio propuesto que requiere aplicar los conceptos previamente trabajados de manera autónoma a partir del material proporcionado por la asignatura.
Esta fase favorece la preparación previa, el aprendizaje autónomo y el trabajo colaborativo.
2. Segundo tercio de la clase
El profesor realiza una puesta en común con todo el grupo, abordando las dudas surgidas durante el trabajo en equipo y resolviendo el ejercicio en la pizarra o mediante herramientas digitales, según su naturaleza.
Esta fase consolida los fundamentos teóricos y garantiza la correcta comprensión de los procedimientos algebraicos.
3. Último tercio de la clase
Los estudiantes resuelven un nuevo ejercicio, nuevamente en grupos de tres, con el objetivo de verificar la asimilación de los conceptos trabajados.
En determinadas sesiones, esta actividad se realiza de forma individual y se entrega al profesor como parte del sistema de evaluación continua.
En resumen, la metodología integra trabajo autónomo previo, aprendizaje colaborativo en el aula y evaluación formativa continua, asegurando la coherencia entre actividades formativas, sistema de evaluación, criterios de evaluación y la carga de trabajo correspondiente a los créditos ECTS asignados.
Con la finalidad de evaluar si el alumno ha alcanzado en un grado adecuado los objetivos perseguidos en la asignatura, se utilizan diferentes pruebas y datos para obtener información del alumno.
La evaluación de la asignatura se realiza mediante un sistema de evaluación continua (basado en ejercicios, cuestionarios y controles en clase), complementado con exámenes individuales realizados a mitad y al final de cada semestre.
Estos 2 exámenes suponen el 70% de la nota de cada semestre (35% + 35%), mientras que el 30% restante corresponde a la evaluación continua realizada.
La nota media mínima de los dos exámenes debe ser igual o superior a 3,5. En caso de no alcanzar este mínimo, no se realiza la ponderación con la nota de evaluación continua y la nota final del semestre será directamente la nota media de los dos exámenes.
La nota final de la asignatura se calcula ponderando con un 50% la nota de cada semestre. Para aprobar la asignatura, los dos semestres deben estar aprobados (nota igual o superior a 5) por separado. Si alguno de los semestres no está aprobado, la nota final de la asignatura quedará suspendida independientemente de la nota obtenida en el otro semestre.
Si un semestre queda suspendido en la convocatoria ordinaria podrá ser recuperado con un examen en la convocatoria extraordinaria. La nota final de la convocatoria extraordinaria se calculará igual que la nota final ordinaria.
Importante:
Según la actualización de la normativa sobre copias realizada durante el curso 2017-18, se define la siguiente categorización de las actividades de evaluación de la asignatura:
Examen del Midterm: Altamente significativa.
Examen Final: Altamente significativa.
Pruebas de evaluación continua: Moderadamente significativa.
La tipificación de la gravedad de la copia y las medidas sancionadoras vienen determinadas por la normativa vigente:
https://www.salleurl.edu/ca/normativa-de-copies
Uso de herramientas de IA:
En las actividades de evaluación de esta asignatura no se pueden utilizar herramientas de IA (Nivel 1 de AIAS). En el caso de que se permita su uso en alguna prueba de evaluación continua, se indicará explícitamente en el enunciado de la actividad.
Se valorará:
- La correcta aplicación de los métodos algebraicos en la resolución de problemas.
- El rigor y la coherencia en el desarrollo de los razonamientos matemáticos.
- La comprensión conceptual de los fundamentos del álgebra lineal.
- La capacidad de modelización matemática de situaciones técnicas básicas.
- La precisión en los cálculos y la correcta interpretación de los resultados obtenidos.
- La claridad y la estructura en la presentación de los procedimientos y soluciones.
Apuntes y ejercicios de álgebra lineal asociados a la asignatura (disponibles en eStudy).
Otros libros que pueden consultarse:
· “Linear Algebra and its Applications” ; David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. Mcdonald; Fifth Edition Pearson 2016
· “Elementary Linear Algebra”; Howard Anton, Chris Rorres; 11th Edition; Wiley 2014
· “Álgebra lineal”; Stanley l. Grossman, José Job Flores Godoy; Séptima edición; McGrawHill 2012
· “Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciències”, Juan Carlos Del Valle Sotelo, McGraw-Hill, 2012
· Howard Anton, “Introducción al álgebra lineal”, Ed. Limusa 1997
· Castellet, M. i Llerena, I., “Àlgebra lineal i geomètrica”, Universitat Autònoma de Barcelona, 1990
· Queysanne, M., “Álgebra bàsica”, Vicens Vives, 1990
· Rojo, A., “Álgebra lineal”, AC 1991
· Puerta, F., “Álgebra Lineal”, Marcombo, 1991.
· Luzarraga, F., “Problemas resueltos de Álgebra Lineal”, 1970
· Lipschutz, S., “Álgebra lineal”, McGraw-Hill, 1991