En aquesta assignatura es pretén que l'alumne pugui assolir els conceptes bàsics de l'anàlisi de funcions reals de variable real i les seves aplicacions, així com desenvolupar habilitats per al càlcul de límits, estudi de funcions, càlcul d'integrals, equacions diferencials i resolució de problemes de convergència de sèries numèriques i funcionals. Es fa èmfasi en que l'alumne sigui capaç d'entendre i relacionar resultats i demostracions bàsiques, així com que vagi adquirint la capacitat d'anàlisi i de síntesi davant d'un problema plantejat. A més, es donen les bases del càlcul numèric mitjançant la realització de pràctiques amb ordinador.
Professors Titulars
Professors Docents
Es recomana coneixements de Trigonometria i funcions bàsiques.
L’assignatura té com a objectiu proporcionar a l’estudiant una base sòlida en els fonaments del càlcul diferencial i integral d’una variable, desenvolupant la capacitat de comprendre i manipular funcions, límits, derivades i integrals com a eines essencials per a l’anàlisi de fenòmens continus. Així mateix, pretén fomentar el raonament lògic i rigorós, la modelització matemàtica i l’aplicació de mètodes de càlcul en la resolució de problemes propis de l’enginyeria i de les ciències aplicades.
L’assignatura també busca que l’estudiant adquireixi destresa tant en l’ús de tècniques analítiques —derivació, integració i representació gràfica— com en la interpretació dels resultats, promovent una comprensió profunda dels conceptes fonamentals que sustenten l’anàlisi matemàtica. Finalment, s’orienta a introduir els principis bàsics de les equacions diferencials ordinàries i les seves aplicacions, contribuint al desenvolupament de competències necessàries per afrontar matèries científiques i tecnològiques posteriors que requereixen un domini del càlcul.
1. Els nombres
1.1. Presentació de diferents tipus de nombres i les seves propietats.
1.2. Els nombres reals. Inequacions amb valor absolut.
1.3. Els nombres complexos.
2. Funcions
2.1. Funcions elementals. Definició i propietats.
2.2. Límits. Definició, propietats i càlcul.
2.3. Continuïtat: definició, propietats, tipus de discontinuïtats
2.4. Teoremes bàsics sobre funcions contínues en intervals.
2.5. Asímptotes.
3. Derivabilitat
3.1. Definició i significat. Diferencial
3.2. Tècniques de derivació
3.3. Teoremes sobre funcions derivables en intervals.
3.4. Polinomis de Taylor
3.5. Creixement i decreixement. Extrems relatius.
3.6. Concavitat i convexitat. Punts d'inflexió.
3.7. Representació gràfica de funcions.
3.8. Optimització
4 Càlcul de primitives
4.1. Integrals immediates.
4.2. Integrals per canvi de variable i per parts.
4.3. Integrals de funcions racionals.
4.4. Integrals de funcions trigonomètriques.
4.5. Integrals de funcions irracionals.
5. La integral de Riemann
5.1. Definició i propietats. Interpretació geomètrica.
5.2. Teorema fonamental del càlcul.
5.3. Integrals impròpies. Definició i càlculs bàsics.
5.4. Aplicacions del càlcul integral (àrees, longituds i volums).
6. Equacions diferencials ordinàries (EDO)
6.1. Classificació.
6.2. Equació de variables separables.
6.2. Equacions homogènies de 1r ordre.
6.3. Equacions lineals de 1r ordre.
6.4. Aplicacions de les EDO.
6.5. Equacions lineals de 2n ordre.
L'assignatura té un funcionament setmanal amb 2 sessions lectives de 100 minuts. Al llarg del curs s'aniran combinant diferents tipus de sessions:
- La major part de les sessions es dediquen a treballar els continguts conceptuals de l'assignatura mitjançant la combinació de classe magistrals i de classe invertida (flipped classroom). El professor explica els punts claus del contingut treballat i resol d'exercicis per completar l'explicació.
- Sessions de treball cooperatiu en les quals els alumnes han de resoldre problemes per consolidar la matèria, sota la supervisió del professor.
- Sessions pràctiques que es dediquen principalment a les pràctiques de Càlcul Numèric on els alumnes treballen en grups de dos amb un ordinador portàtil que disposi del software Matlab.
- Finalment, algunes sessions que es dediquen a avaluació individual mitjançant proves escrites o sessions de repàs de cara als exàmens.
Amb la finalitat d´avaluar si l´alumne ha assolit en un grau adequat els objectius perseguits a l´assignatura es fan servir diferents proves per obtenir dades de l´alumne:
- Exàmens. Durant el curs es fan 4 exàmens principals: dos al primer semestre i dos més al segon.
- Controls realitzats a classe.
- Participació a classe i lliurament d'exercicis.
- Pràctiques en Matlab personals o en grup.
Per cada semestre, l’avaluació de l’assignatura es realitza mitjançant un sistema d’avaluació contínua complementat amb un examen a meitat del semestre i un altre al final. La qualificació final s’obté a partir dels següents elements:
Exàmens individuals: 70% Controls parcials: 18% Participació i Lliuraments d’exercicis: 3% Pràctiques: 9%
Per superar el semestre serà necessari obtenir una nota mínima de 3.5 sobre 10 a l’examen final. En cas de no assolir aquest mínim, no es realitzarà la mitjana amb la resta d’activitats.
Per superar l'assignatura, cal una nota mínima de 5 en cada semestre.
Es preveu una convocatòria extraordinària a juliol per recuperar el/s semestre/s no superat/s en convocatòria ordinària. Aquesta recuperació constarà d'un examen per cada semestre. La nota del semestre serà la millor d'entre la nota de l'examen i la nota obtinguda amb la ponderació del 70% de l'examen de recuperació i el 30% de les activitats d'avaluació continuada obtinguda en el semestre corresponens.
Es valorarà:
- La correcta aplicació dels mètodes de càlcul en la resolució de problemes.
- El rigor i la coherència en el desenvolupament dels raonaments matemàtics.
- La capacitat de modelització matemàtica de situacions tècniques bàsiques.
- La precisió en els càlculs i la correcta interpretació dels resultats obtinguts.
Piskunov, N. (1983). Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Mir.
Alfonsa García et al. (1994) Cálculo I. Teoría y problemas. Editorial GLACSA.
Galindo Soto, F. et al. (2003). Guía práctica de cálculo infinitesimal en una variable real. Thomson.
Paul's Online Notes. https://tutorial.math.lamar.edu/